Moving average spectral estimation

12.1 Estimando a Densidade Espectral Discutimos anteriormente o periodograma, uma função / gráfico que exibe informações sobre os componentes periódicos de uma série temporal. Qualquer série temporal pode ser expressa como uma soma de cosseno e ondas senoidais oscilando nas freqüências fundamentais (harmônicas) j / n. com j 1, 2, n / 2. O periodograma fornece informações sobre as forças relativas das várias frequências para explicar a variação na série temporal. O periodograma é uma estimativa da amostra de uma função populacional chamada densidade espectral, que é uma caracterização do domínio de frequência de uma série temporal populacional estacionária. A densidade espectral é uma representação do domínio de freqüência de uma série temporal que está diretamente relacionada à representação do domínio de tempo de autocovariância. Em essência, a densidade espectral e a função de autocovariância contêm a mesma informação, mas expressam-na de maneiras diferentes. Revise a nota. A autocovariância é o numerador da autocorrelação. A autocorrelação é a autocovariância dividida pela variância. Suponha que (h) seja a função de autocovariância de um processo estacionário e que f () seja a densidade espectral para o mesmo processo. Na notação da frase anterior, h intervalo de tempo e frequência. A autocovariância e a densidade espectral têm as seguintes relações: Na linguagem de cálculo avançado, a autocovariância e a densidade espectral são pares de transformada de Fourier. Não nos preocupamos com o cálculo da situação. Focar bem na estimação da densidade espectral a caracterização do domínio de freqüência de uma série. As equações da transformada de Fourier são dadas aqui apenas para estabelecer que existe uma ligação direta entre a representação do domínio do tempo e a representação do domínio da frequência de uma série. Matematicamente, a densidade espectral é definida para as frequências negativas e positivas. No entanto, devido à simetria da função e seu padrão de repetição para freqüências fora do intervalo de -1/2 a 1/2, precisamos nos preocupar somente com freqüências entre 0 e 1/2. A densidade espectral total integrada é igual à variação da série. Assim, a densidade espectral dentro de um intervalo particular de freqüências pode ser vista como a quantidade da variância explicada por essas freqüências. Métodos para Estimar a Densidade Espectral O periodograma bruto é uma amostra aproximada da densidade espectral da população. A estimativa é grosseira, em parte, porque usamos apenas as freqüências harmônicas discretas para o periodograma, enquanto a densidade espectral é definida em um contínuo de freqüências. Uma possível melhoria na estimativa do periodograma da densidade espectral é suavizá-la usando médias móveis centralizadas. Uma suavização adicional pode ser criada usando métodos de afilamento que pesam as extremidades (no tempo) da série menores que o centro dos dados. Bem, não cubra o afunilamento nesta lição. As partes interessadas podem ver a Seção 4.5 no livro e várias fontes da Internet. Uma abordagem alternativa para suavizar o periodograma é uma abordagem de estimativa paramétrica baseada no fato de que qualquer série temporal estacionária pode ser aproximada por um modelo AR de alguma ordem (embora possa ser uma ordem alta). Nesta abordagem, um modelo AR adequado é encontrado e, em seguida, a densidade espectral é estimada como a densidade espectral para esse modelo AR estimado. Método de Suavização (Estimação Não-Paramétrica da Densidade Espectral) O método usual para suavizar um periodograma tem um nome tão sofisticado que parece difícil. Na verdade, é apenas um procedimento de média móvel centralizado com algumas modificações possíveis. Para uma série temporal, o kernel de Daniell com o parâmetro m é uma média móvel centralizada que cria um valor suavizado no tempo t pela média de todos os valores entre os tempos t m e t m (inclusive). Por exemplo, a fórmula de suavização para um kernel Daniell com m 2 é In, os coeficientes de ponderação para um kernel Daniell com m 2 podem ser gerados com o kernel de comando (daniell, 2). O resultado é coef-2 0.2 coef-1 0.2 coef 0 0.2 coef 1 0.2 coef 2 0.2 Os subscritos para coef referem-se à diferença de tempo do centro da média no tempo t. Assim, a fórmula de suavização neste caso é a mesma que a fórmula dada acima. O kernel de Daniell modificado é tal que os dois pontos finais na média recebem metade do peso que os pontos interiores fazem. Para um kernel Daniell modificado com m 2, a suavização é Em R, o kernel de comando (modified. daniell, 2) listará os coeficientes de ponderação usados. O kernel Daniell ou o kernel Daniell modificado pode ser complicado (repetido) para que a suavização seja aplicada novamente aos valores suavizados. Isso produz uma suavização mais extensa pela média de um intervalo de tempo maior. Por exemplo, para repetir um kernel de Daniell com m 2 nos valores suavizados que resultaram de um kernel de Daniell com m 2, a fórmula seria Essa é a média dos valores suavizados dentro de dois períodos de tempo t. em qualquer direção. Em R, o kernel de comando (daniell, c (2,2)) fornecerá os coeficientes que seriam aplicados como pesos na média dos valores de dados originais para um kernel de Daniell complicado com m 2 em ambos os smoothings. O resultado é kernel gt (daniell, c (2,2)) coef-4 0,04 coef-3 0,08 coef-2 0,12 coef-1 0,16 coef 0,20 coef 1 0,16 coef 2 0,12 coef 3 0,08 coef 4 0,04 Isso gera o alisamento Fórmula Uma convolução do método modificado em que os pontos finais têm menos peso também é possível. O núcleo do comando (modified. daniell, c (2,2)) fornece estes coeficientes: coef-4 0.01563 coef-3 0.06250 coef-2 0.12500 coef-1 0.18750 coef 0 0.21875 coef 1 0.18750 coef 2. 0.12500 coef 3 0.06250 coef 4 0.01563 Assim, os valores centrais são ponderados um pouco mais do que no kernel Daniell não modificado. Quando suavizamos um periodograma, estamos suavizando um intervalo de frequência em vez de um intervalo de tempo. Lembre-se que o periodograma é determinado nas frequências fundamentais jj / n para j 1, 2,, n / 2. Seja eu (j) denotar o valor do periodograma na frequência jj / n. Quando usamos um kernel de Daniell com o parâmetro m para suavizar um periodograma, o valor suavizado (hat (omegaj)) é uma média ponderada de valores de periodograma para freqüências no intervalo (j-m) / n a (jm) / n. Existem valores de frequência fundamental L 2 m 1 no intervalo (j-m) / n a (jm) / n. o intervalo de valores usado para suavização. A largura de banda para o periodograma suavizado é definida como A largura de banda é uma medida da largura do (s) intervalo (s) de frequência usado (s) para suavizar o periodograma. Quando pesos desiguais são usados ​​na suavização, a definição de largura de banda é modificada. Indique o valor do periodograma suavizado em j j / n como (omegaj) soma hk que deixei (omegaj frac right). Os hk são os pesos possivelmente diferentes usados ​​na suavização. A fórmula de largura de banda é modificada para Na verdade, essa fórmula funciona para pesos iguais também. A largura de banda deve ser suficiente para suavizar nossa estimativa, mas se usarmos uma largura de banda que seja muito grande, suavize muito o periodograma e perca a visão de picos importantes. Na prática, geralmente é necessária alguma experimentação para encontrar a largura de banda que fornece uma suavização adequada. A largura de banda é predominantemente controlada pelo número de valores que são calculados na média na suavização. Em outras palavras, o parâmetro m para o kernel Daniell e se o kernel é complicado (repetido) afeta a largura de banda. Nota: Os relatórios de largura de banda R com seus gráficos não correspondem aos valores que seriam calculados usando as fórmulas acima. Por favor, veja a nota de rodapé na p. 197 do seu texto para uma explicação. A média / suavização do periodograma com um kernel Daniell pode ser realizada em R usando uma seqüência de dois comandos. O primeiro define um kernel Daniell e o segundo cria o periodograma suavizado. Como exemplo, suponha que a série observada seja denominada x e desejamos suavizar o periodograma usando um kernel Daniell com m 4. Os comandos são k kernel (daniell, 4) spec. pgram (x, k, taper0, log no) O primeiro comando cria os coeficientes de ponderação necessários para a suavização e os armazena em um vetor chamado k. (É arbitrário chamá-lo de k. Ele poderia ser chamado de qualquer coisa.) O segundo comando pede uma estimativa de densidade espectral com base no periodograma para a série x. usando os coeficientes de ponderação armazenados em k, sem conicidade, e o gráfico será em uma escala ordinária, não em escala de registro. Se uma convolução é desejada, o comando do kernel pode ser modificado para algo como k kernel (daniell, c (4,4)). Existem duas maneiras possíveis de obter um kernel Daniell modificado. Você pode alterar o comando do kernel para fazer referência ao modified. daniell em vez de daniell ou pode ignorar usando o comando kernel e usar um parâmetro spans no comando spec. pgram. O parâmetro spans fornece o comprimento (2 m 1) do kernel Daniell modificado desejado. Por exemplo, um kernel de Daniell modificado com m 4 tem comprimento L 2 m 1 9, então poderíamos usar o comando spec. pgram (x, spans9, taper 0, logno) Duas passagens de um kernel de Daniell modificado com m 4 em cada passagem pode ser feito usando spec. pgram (x, spansc (9,9), taper 0, logno) Exemplo. Este exemplo usará a série de recrutamento de peixes usada em vários lugares no texto, incluindo vários lugares no capítulo 4. A série consiste em n 453 valores mensais de uma medida de uma população de peixes em um local do hemisfério sul. Os dados estão no arquivo recruit. dat. O periodograma bruto pode ser criado usando o comando (ou pode ser criado usando o método fornecido na Lição 6). spec. pgram (x, taper0, logno) Observe que no comando que acabamos de receber, omitimos o parâmetro que fornece pesos para suavização. O periodograma bruto segue: O próximo gráfico é um periodograma suavizado usando um núcleo de Daniell com m 4. Observe que um efeito da suavização é que o pico dominante na versão não suavizada é agora o segundo pico mais alto. Isso aconteceu porque o pico é tão bem definido na versão não suavizada que, quando a medimos com alguns valores circunvizinhos, a altura é reduzida. O próximo gráfico é um periodograma suavizado usando duas passagens de um kernel de Daniell com m 4 em cada passagem. Note como é ainda mais suavizado do que anteriormente. Para saber onde estão localizados os dois picos dominantes, atribua um nome à saída spec. pgram e então você pode listá-lo. Por exemplo, specvalues ​​spec. pgram (x, k, taper0, logno) specvalues ​​Você pode filtrar a saída para encontrar as freqüências nas quais os picos ocorrem. As frequências e estimativas de densidade espectral são listadas separadamente, mas na mesma ordem. Identifique as densidades espectrais máximas e depois encontre as frequências correspondentes. Aqui, o primeiro pico está em uma freqüência .0229. O período (número de meses) associado a este ciclo 1 / 0,0229 43,7 meses, ou cerca de 44 meses. O segundo pico ocorre com uma frequência de 0,083333. O período associado 1 / .08333 12 meses. O primeiro pico está associado a um efeito climático El Niño. O segundo é o efeito sazonal habitual de 12 meses. Esses dois comandos colocarão linhas pontilhadas verticais no gráfico de densidade espectral (estimado) nas localizações aproximadas das densidades de pico. abline (v1 / 44, ltydotted) abline (v1 / 12, lty pontilhado) Heres a plotagem resultante: Weve suavizado o suficiente, mas para fins de demonstração, a próxima plotagem é o resultado de spec. pgram (x, spansc (13,13) , taper0, logno) Isso usa duas passagens de um kernel Daniell modificado com comprimento L 13 (então m 6) a cada vez. O enredo é um pouco mais suave, mas não muito. Os picos, a propósito, estão exatamente nos mesmos lugares da trama imediatamente acima. É definitivamente possível suavizar demais. Suponha que usássemos um kernel Daniell modificado de comprimento total 73 (m 36). O comando é spec. pgram (x, spans73, taper0, logno) O resultado a seguir. Os picos se foram Estimação Paramétrica da Densidade Espectral O método de suavização da estimativa de densidade espectral é chamado de método não paramétrico porque não usa nenhum modelo paramétrico para o processo de série temporal subjacente. Um método alternativo é um método paramétrico que implica encontrar o melhor modelo de RA para a série e então traçar a densidade espectral desse modelo. Este método é apoiado por um teorema que diz que a densidade espectral de qualquer processo de séries temporais pode ser aproximada pela densidade espectral de um modelo AR (de alguma ordem, possivelmente uma alta). Em R, a estimação paramétrica da densidade espectral é feita facilmente com o comando / função spec. ar. Um comando como spec. ar (x, logno) fará com que R faça todo o trabalho. Novamente, para identificar picos, podemos atribuir um nome aos resultados spec. ar, fazendo algo como specvaluesspec. ar (x, log no). Para o exemplo de recrutamento de peixe, o seguinte gráfico é o resultado. Observe que a densidade plotada é a de um modelo AR (13). Certamente, podemos encontrar modelos ARIMA mais parcimoniosos para esses dados. Estávamos apenas usando a densidade espectral desse modelo para aproximar a densidade espectral das séries observadas. A aparência da densidade espectral estimada é aproximadamente a mesma de antes. O pico estimado do El Nino está localizado em um lugar ligeiramente diferente, a freqüência é de cerca de 0,024 para um ciclo de cerca de 1 / 0,024, cerca de 42 meses. Uma série deve ser tracionada antes de uma análise espectral. Uma tendência causará uma densidade espectral tão dominante em baixa freqüência que outros picos não serão vistos. Por padrão, o comando R spec. pgram realiza uma de-tendência usando um modelo de tendência linear. Ou seja, a densidade espectral é estimada usando os resíduos de uma regressão feita onde os dados observados da variável y e a variável x t. Se um tipo diferente de tendência estiver presente, um quadrático, por exemplo, então uma regressão polinomial poderia ser usada para desfasar os dados antes que a densidade espectral estimada fosse explorada. Observe, no entanto, que o comando R spec. ar. no entanto, não executa uma redução de tendência por padrão. Aplicação de Smoothers a dados brutos Observe que os suavizadores descritos aqui também podem ser aplicados a dados brutos. O kernel da Daniell e suas modificações estão simplesmente se movendo em média (ou média ponderada) suavizadores. Navegação16. Estimação Espectral O problema de estimação espectral para uma série temporal discreta gerada por um processo linear, invariante no tempo, pode ser formulado em termos de três modelos: autoregressivo (AR), média móvel (MA) e média móvel autorregressiva (ARMA). Os procedimentos de análise diferem em cada facilidade, e erros de especificação surgem devido à aplicação do algoritmo inadequado. Os modelos AR e MA levam, respectivamente, às abordagens de entropia máxima (MEM) e janela de retardo. O modelo ARMA tem muito interesse sísmico para que a resposta impulsiva unitária de um meio estratificado horizontalmente seja expressa dessa maneira. Como seu componente de feedback possui a propriedade de atraso mínimo, uma técnica de estimativa espectral ARMA que atende a esse requisito tem relevância sísmica específica. Tal estimativa espectral resulta da aplicação de um algoritmo iterativo de mínimos quadrados a portas selecionadas da série temporal observada. Um conjunto de amostras de séries temporais sintéticas serve para ilustrar a degradação na estimativa espectral resultante de uma especificação incorreta do modelo. Muito tem sido escrito nos últimos anos sobre a análise espectral de séries temporais discretas. Não existe uma única técnica correta para calcular o espectro na ausência de conhecimento sobre o tipo de processo que gerou os dados. Como vimos no Capítulo 9, distinguimos entre três processos possíveis: autoregressivo (AR), média móvel (MA) e média móvel autorregressiva (ARMA). Em termos de engenharia, esses processos descrevem respectivamente os sistemas de todos os pólos (ou feedback), todos de zero (ou feedforward) e de pólo-zero (ou feedbak feedforward). De um modo geral, não teremos conhecimento a priori sobre o mecanismo gerador da série temporal, e somos forçados a assumir que nossos dados registrados realmente satisfazem uma dessas três representações. Uma vez tomada esta decisão, devemos selecionar um algoritmo apropriado para o cálculo da estimativa espectral real. No caso do modelo AR, ou all-pole, o método de entropia máxima (MEM), conforme implementado com uma técnica devido a Burg (1967, 1975), é apropriado. Para o modelo MA, ou all-zero, recorreu-se à clássica abordagem lag-window (Blackman e Tukey, 1959). No Apêndice 16-1, apresentamos a matemática do método clássico de janela de retardo e, no Apêndice 16-2, a matemática do método de máxima entropia. O modelo ARMA, ou pole-zero, também recebeu atenção na literatura recente: técnicas pertinentes de estimação espectral foram descritas por Anderson (1971, Cap. 5), por Box e Jenkins (1970, Cap. 6 e 7), e por Alam (1978). A representação racional da resposta ao impulso de um processo ARMA é dada pela razão de dois polinômios na variável complexa z. Neste capítulo, estaremos particularmente interessados ​​na análise espectral de sismogramas. Como vimos no Capítulo 13, a resposta impulsiva unitária de um meio perfeitamente elástico estratificado horizontalmente pode ser expressa como a razão de dois desses polinômios em potências de z. mas com a restrição adicional de que o polinômio denominador tenha a propriedade minimum-delay. Em outras palavras, essa condição força os pólos do sistema a ficarem fora da periferia do círculo unitário z 1 no plano complexo e nos permite expandir a razão polinomial ARMA na forma de uma série de potências convergentes em z. Será desejável, portanto, buscar um algoritmo de estimação espectral ARMA que garanta um denominador de atraso mínimo. Embora não exista uma necessidade matemática intrínseca de um método de estimação espectral ARMA para produzir um denominador de atraso mínimo, acabamos de afirmar que tal busca tem forte motivação física. Consequentemente, a propriedade de atraso mínimo do denominador é um ponto forte e um não necessariamente. compartilhados por outros estimadores espectrais ARMA. Você é um membro da SEG ou EEGS Se você é um Membro SEG (com acesso a periódicos SEG e EEGS, resumos e procedimentos expandidos e preços com desconto para compras individuais de livros eletrônicos SEG) ou se você já adquiriu acesso a este conteúdo separadamente, clique aqui para entrar e acessar o conteúdo desejado. Se você é um membro do EEGS (com acesso às publicações do EEGS e aos resumos expandidos do Programa Técnico da SEG), clique aqui para acessar e acessar o conteúdo desejado. Todo o conteúdo do e-book pode ser adquirido separadamente por indivíduos e instituições. Adquira este conteúdo Escolha entre as seguintes opções: Biblioteca Digital SEG Opções Institucionais A SEG expandiu sua coleção de livros on-line para mais de 100 títulos com uma combinação de obras novas e herdadas e adicionou uma opção de compra de acesso permanente para toda a coleção. 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As estimativas espectrais de Blackman-Tukey também são comparadas às estimativas de Marple e Friedlander. A variabilidade das estimativas de Marple e Friedlander com tamanhos amostrais é investigada. Embora os métodos de Marple e Friedlander sejam satisfatórios, o método de Friedlander é preferido devido à sua capacidade de lidar com uma classe mais ampla de modelos. Modelos estocásticos análise espectral Referências Akaike, H. 1969: Montagem de modelos AR para previsão. Ann. Inst. Estatista Matemática. 21, 243247 Google Scholar Beamish, N. Priestley, M. B. 1981: Um estudo de estimação autorregressiva e espectral de janela. Appl. Estatista 30, 4158 Google Scholar Blackman, R. B. Tukey, J. W. 1959: A medição de espectros de potência do ponto de vista da engenharia de comunicações. Nova Iorque: Dover Google Scholar Box, G. E.P. Jenkins, G. M. 1970: Análise de séries temporais: previsão e controle. San Francisco: Holden-Day Google Scholar Brockwell, P. J. Davis, R. 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